Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2n комбинаций n свойств.
Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
Задача 1
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Решение:
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М), физического (Ф), химического (Х) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
Домашнее задание: Электронная тетрадь - задачи
Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
| Логическая связка | Пример | Пояснение | Круги Эйлера |
| & - “И” (пересечение множеств) | Бабочки & Мадагаскар | Результат операции "И": множество, включающее в себя только бабочек, обитающих на острове Мадагаскар | Рис.1 |
| | - “ИЛИ” (объединение множеств) | Бабочки | Мадагаскар | Результат операции "ИЛИ": множество всех бабочек и бабочек Мадагаскара | Рис.2 |
Задача 1
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Решение:
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М), физического (Ф), химического (Х) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
| Круги Эйлера с названиями непересекающихся множеств:
Рис. 16
 | Круги Эйлера с количественной информацией:
Рис. 17
Например, количество человек, которые посещают физический кружок 2+6+1+5=14
|
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.
Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
Ответ: 8.
Задача 2
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Решение:
Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:
Рис.18.
 | В кино и театре побывало 6 чел., значит, только в кино и театре (6-х) чел.
Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел.
Только в театре и цирке (4-х) чел.
В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 - (10-х) – (6-х) – х = (9+х).
Аналогично, только в театре были (1+х) чел.
Только в цирке были (3+х) чел.
Не были в театре, кино и цирке – 2 чел.
Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях.
С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке:
(9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34
33+х = 34.
Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях.
|
Ответ: 1.
Источник (ссылка)Домашнее задание: Электронная тетрадь - задачи
